INTRODUCTION à L'ANALYSE NUMÉRIQUE MATRICIELLE et à L'OPTIMISATION P. G. CIARLET

 Collection Mathématiques appliquées pour la maîtrise 

Sous la direction de P. G. CIARLET et J. L. LIONS 

P. G. CIARLET 

Université Pierre et Marie Curie 

École Normale Supérieure 

INTRODUCTION 

à 

L'ANALYSE NUMÉRIQUE 

MATRICIELLE 

et à 

L'OPTIMISATION 

Troisième tirage 

avec mise à jour de la bibliographie 

MASSON Paris Milan Barcelone Mexico 1988 

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TABLE DES MATIERES 

Présentation de la collection v 

Préface vii 

Première partie 

Analyse numérique matricielle 

1. Rappels et compléments sur les matrices 3 

Introduction 3 

1.1. Principales notations et définitions 3 

1.2. Réduction des matrices 8 

1.3. Propriétés particulières aux matrices symétriques et hermitiennes 11 

1.4. Normes vectorielles et normes matricielles 14 

1.5. Suites de vecteurs et de matrices 21 

2. Généralités sur l'analyse numérique matricielle 23 

Introduction 23 

2.1. Les deux problèmes fondamentaux ; généralités sur les méthodes employées 23 

2.2. Conditionnement d'un système linéaire 27 

2.3. Conditionnement d'un problème de valeurs propres 34 

3. Origine des problèmes de l'analyse numérique matricielle 37 

Introduction 37 

3.1. La méthode des différences finies pour un problème aux limites en  

dimension un 38 

3.2. La méthode des différences finies pour un problème aux limites en  

dimension deux 45 

3.3. La méthode des différences finies pour les problèmes aux limites  

d'évolution 48 

3.4. Approximation variationnelle d'un problème aux limites en dimension un 53 

3.5. Approximation variationnelle d'un problème aux limites en dimension 

deux 60 

3.6. Problèmes de valeurs propres 62 

3.7. Problèmes d'interpolation et d'approximation 66 

4. Méthodes directes de résolutions de systèmes linéaires 71 

Introduction 71 

4.1. Deux remarques concernant la résolution des systèmes linéaires 72 

4.2. La méthode de Gauss 73 

4.3. La factorisation LU d'une matrice 82 

4.4. La factorisation et la méthode de Cholesky 87 

4.5. La factorisation QR d'une matrice et la méthode de Householder 90 

Xll 

5. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 95 

Introduction 95 

5.1. Généralités sur les méthodes itératives 95 

5.2. Description des méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel, de relaxation 97 

5.3. Convergence des méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel, de relaxation 102 

6. Méthodes de calcul des valeurs propres et des vecteurs propres 110 

Introduction 110 

6.1. La méthode de Jacobi 111 

6.2. La méthode de Givens-Householder 118 

6.3. La méthode QR 123 

6.4. Calcul des vecteurs propres 129 

Deuxième partie 

Optimisation 

7. Rappels et compléments de calcul différentiel. Premières applications 135 

Introduction 135 

7.1. Dérivées première et seconde d'une application 137 

7.2. Extremums des fonctions réelles: multiplicateurs de Lagrange 146 

7.3. Extremums des fonctions réelles: prise en compte des dérivées secondes . 151 

7.4. Extremums des fonctions réelles: prise en compte de la convexité 153 

7.5. La méthode de Newton 158 

8. Généralités sur l'optimisation. Premiers algorithmes 167 

Introduction 167 

8.1. Le théorème de projection; premières conséquences 168 

8.2. Généralités sur les problèmes d'optimisation 173 

8.3. Exemples de problèmes d'optimisation 179 

8.4. Méthodes de relaxation et de gradient pour des problèmes sans  

contraintes 182 

8.5. Méthodes de gradient conjugué pour des problèmes sans contraintes ... 194 

8.6. Méthodes de relaxation, de gradient, et de pénalisation, pour des problèmes 

avec contraintes 201 

9. Introduction à la programmation non linéaire 207 

Introduction 207 

9.1. Lemme de Farkas-Minkowski 208 

9.2. Les relations de Kuhn et Tucker 211 

9.3. Lagrangiens et points-selles. Introduction à la dualité 219 

9.4. La méthode d'Ûzawa 226 

10. Programmation linéaire 231 

Introduction 231 

10.1. Généralités sur la programmation linéaire 232 

10.2. Exemples de problèmes de programmation linéaire 235 

10.3. La méthode du simplexe 237 

10.4. Dualité et programmation linéaire 252 

Commentaires bibliographiques 259 

Références 262 

Principales notations utilisées 266 

Index 271 

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ANALYSE  FONCTIONNELLE Théorie et applications  >> Télécharger ici