Équations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés

 Équations aux dérivées partielles

Cours et exercices corrigés 

2e édition

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Avant-propos VII

Notations IX

Chapitre 1. Généralités 1

1.1 Premières définitions 1

1.2 Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires en mécanique 5

Chapitre 2. Équations aux dérivées partielles du premier ordre 17

2.1 Préambule : étude d’un système différentiel de la forme  y- = = % 17

2.2 Équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre 23

Exercices 30

Corrigés 31

Chapitre 3. Équations aux dérivées partielles du second ordre 33

3.1 Classification des équations 33

3.2 Courbes caractéristiques et problème de Cauchy 35

3.3 Réduction à la forme standard 40

Exercices 49

Corrigés 51

Chapitre 4. Distributions 55

4.1 Motivation 55

4.2 Espace des fonctions tests 57

4.3 Espace des distributions 60

4.4 Dérivation d’une distribution 66

4.5 Opérations 68

4.6 Distributions tempérées 73

Exercices 75

Corrigés 77

Chapitre 5. Transformations intégrales 83

5.1 Transformation de Fourier 83

5.2 Transformation de Laplace 90

Exercices 99

Corrigés 106

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Chapitre 6. Méthode de séparation des variables 117

6.1 Fonctions à variables séparées 1 1 7

6.2 Problème de Sturm-Liouville 120

6.3 Séparation des variables 1 26

Exercices 135

Corrigés 140

Chapitre 7. Quelques équations aux dérivées partielles classiques 153

7.1 Équation de transport 153

7.2 Équation des ondes 1 58

7.3 Équation de la chaleur 1 64

7.4 Équation de Laplace 166

7.5 Une équation aux dérivées partielles classique en finance : l’équation

de Black-Scholes 1 78

Chapitre 8. Introduction aux approches variationnelles 183

8.1 Principe des approches variationnelles 183

8.2 Problème variationnel abstrait 1 89

8.3 Notions sur la régularité de la solution faible 1 95

8.4 Traitement de quelques EDP 195

8.5 Techniques d’approximation de Ritz-Galerkin 200

Exercices 202

Corrigés 204

Annexe A. Rappels d’analyse et de géométrie 215

A.l Fonctions de plusieurs variables 21 5

A. 2 Éléments de géométrie 21 7

Annexe B. Éléments d’analyse hilbertienne 221

B. l Définitions 221

B.2 Complétude 226

B.3 Sommes hilbertiennes 229

B.4 Projection sur un convexe fermé 233

B. 5 Dualité dans les espaces de Hilbert 237

Annexe C. Éléments d’intégration de Lebesgue 241

C. l Motivation 241

C.2 Rapide construction de l’intégrale de Lebesgue 242

C.3 Résultats importants 245

C.4 Comparaison Riemann-Lebesgue 247

C.5 Intégrales multiples 247

C.6 Espaces de Lebesgue 248

C.7 Produit de convolution de deux fonctions 252

C.8 Résultats de densité et de séparabilité 253

IV

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Table des matières

Annexe D. Propriétés de l’espace de Sobolev H}(Q) 255

D. 1 Structure algébrique

D.2 Régularité des fonctions, notion de trace

D.3 Inégalités de Poincaré

255

257

260

Bibliographie 265

Index 266