ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE PC-PSI-PT Cours, méthodes et exercices corrigés Jean-Marie Monier

 ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE

PC-PSI-PT

Cours, méthodes et exercices corrigés

Jean-Marie Monier

Professeur en classe de Spéciales 

au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon

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CHAPITRE 1 Compléments d’algèbre linéaire 3

1.1 Espaces vectoriels  4

1.1.1 Familles libres, familles liées, familles génératrices  4

1.1.2 Sommes, sommes directes  4

1.2 Applications linéaires  9

1.2.1 Théorème d’isomorphisme  9

1.2.2 Interpolation de Lagrange  10

1.2.3 Théorème du rang  11

1.3 Dualité  13

1.3.1 Généralités 13

1.3.2 Hyperplans 14

1.3.3 Bases duales  16

1.4  Calcul matriciel  22

1.4.1 Trace 22

1.4.2 Blocs 27

Déterminants 35

2.1  Le groupe symétrique  36

2.1.1 Structure de Sn 36

2.1.2 Transpositions  36

2.1.3 Cycles  39

2.2 Applications multilinéaires  41

2.2.1 Généralités 41

2.2.2 Applications multilinéaires alternées  41

2.3 Déterminant d'une famille de n vecteurs

dans une base d'un ev de dimension n 43

2.3.1 Espace n(E) 43

2.3.2 Propriétés 44

2.4 Déterminant d'un endomorphisme  45

2.5 Déterminant d'une matrice carrée  46

Cours

CHAPITRE 2

IV

2.6 Développement par rapport à une rangée   49

2.6.1 Cofacteurs et mineurs  49

2.6.2 Comatrice 53

2.7 Calcul des déterminants  55

2.7.1 Déterminant d'une matrice triangulaire  55

2.7.2 Manipulation de lignes et de colonnes  55

2.7.3 Cas n = 2, n = 3 58

2.7.4 Déterminant de Vandermonde   59

2.7.5 Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs  60

2.8  Orientation d'un espace vectoriel réel

de dimension finie  64

2.9 Supplément : Rang et sous-matrices  65

2.10 Systèmes affines   68

2.10.1 Position du problème  68

2.10.2 Résolution dans le cas d’un système de Cramer  69

Réduction des endomorphismes 

et des matrices carrées 73

3.1 Éléments propres  74

3.2 Polynôme caractéristique  79

3.3 Diagonalisabilité  86

3.4 Trigonalisation  98

3.5 Polynômes d'endomorphismes, 

polynômes de matrices carrées  106

3.5.1 Généralités 106

3.5.2 Polynômes annulateurs  109

3.5.3 Théorème de Cayley et Hamilton  116

3.5.4 Idéaux de K[X] (PSI 118

3.6 Applications de la diagonalisation  119

3.6.1 Calcul des puissances d'une matrice carrée  119

3.6.2 Suites récurrentes linéaires simultanées

du 1er

ordre à coefficients constants   123

3.6.3 Suites récurrentes linéaires à coefficients constants  124

Problèmes 126

Espaces préhilbertiens réels 129

4.1  Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques  130

4.1.1 Généralités 130

4.1.2 Interprétation matricielle  132

4.2  Rappels sur les espaces euclidiens   137

4.2.1 Produit scalaire  137

4.2.2 Orthogonalité 141

CHAPITRE 4

CHAPITRE 3

4.3  Endomorphismes remarquables

d'un espace vectoriel euclidien  146

4.3.1 Endomorphismes symétriques  146

4.3.2 Endomorphismes orthogonaux  153

4.4 Adjoint  158

4.4.1 Adjoint d’un endomorphisme d’un espace euclidien  158

4.4.2 Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien  162

4.5  Réduction des matrices symétriques réelles   163

4.5.1 Théorème fondamental  163

4.5.2 Réduction simultanée  169

4.5.3 Positivité 170

Problème 186

Espaces préhilbertiens complexes 187

5.1 Formes sesquilinéaires  188

5.1.1 Généralités 188

5.1.2 Cas de la dimension finie  190

5.2 Espaces préhilbertiens complexes

et espaces hermitiens  193

5.2.1 Produit scalaire hermitien  193

5.2.2 Orthogonalité 197

Géométrie 203

6.1 Courbes du plan  204

6.1.1 Enveloppe d'une famille de droites du plan  204

6.1.2 Rappels sur l’abscisse curviligne et le rayon de courbure  211

6.1.3 Centre de courbure  216

6.1.4 Développée d'une courbe du plan  220

6.1.5 Développantes d'une courbe du plan  223

6.2 Courbes de l'espace  227

6.2.1 Généralités  227

6.2.2 Tangente en un point  229

6.2.3 Abscisse curviligne  231

6.3 Surfaces  235

6.3.1 Généralités 235

6.3.2 Plan tangent en un point  238

6.3.3 Surfaces usuelles  244

6.3.4 Quadriques  252

6.3.5 Surfaces réglées, surfaces développables  261

6.3.6 Exemples de recherche de courbes tracées sur une surface 

et satisfaisant une condition différentielle  267

CHAPITRE 6

CHAPITRE 5

Chapitre 1 278

Chapitre 2 284

Chapitre 3 293

Chapitre 4 322

Chapitre 5 347

Chapitre 6 350

Index des notations 373

Index alphabétique 375

Solutions des exercices

>>>>Équations aux dérivées partielles _ cours et exercices corrigés.pdf - 8.7 MB<<<<

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INTRODUCTION   à   L'ANALYSE NUMÉRIQUE   MATRICIELLE   et à   L'OPTIMISATION  P. G. CIARLET >>Télécharger ici

Inverse Problems for Partial Differential Equations >> Télécharger ici

ANALYSE  FONCTIONNELLE Théorie et applications  >> Télécharger ici