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Équations aux dérivées partielles Cours et exercices corrigés

 Équations aux dérivées partielles

Cours et exercices corrigés 

2e édition

RESSOURCES

NUMÉRIQUES

Licence

Écoles d’ingénieurs

DUNOD

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Inverse Problems for Partial Differential Equations >> Télécharger ici

ANALYSE  FONCTIONNELLE Théorie et applications  >> Télécharger ici

Avant-propos VII

Notations IX

Chapitre 1. Généralités 1

1.1 Premières définitions 1

1.2 Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires en mécanique 5

Chapitre 2. Équations aux dérivées partielles du premier ordre 17

2.1 Préambule : étude d’un système différentiel de la forme  y- = = % 17

2.2 Équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre 23

Exercices 30

Corrigés 31

Chapitre 3. Équations aux dérivées partielles du second ordre 33

3.1 Classification des équations 33

3.2 Courbes caractéristiques et problème de Cauchy 35

3.3 Réduction à la forme standard 40

Exercices 49

Corrigés 51

Chapitre 4. Distributions 55

4.1 Motivation 55

4.2 Espace des fonctions tests 57

4.3 Espace des distributions 60

4.4 Dérivation d’une distribution 66

4.5 Opérations 68

4.6 Distributions tempérées 73

Exercices 75

Corrigés 77

Chapitre 5. Transformations intégrales 83

5.1 Transformation de Fourier 83

5.2 Transformation de Laplace 90

Exercices 99

Corrigés 106

www.bibliomath.comÉquations aux dérivées partielles

Chapitre 6. Méthode de séparation des variables 117

6.1 Fonctions à variables séparées 1 1 7

6.2 Problème de Sturm-Liouville 120

6.3 Séparation des variables 1 26

Exercices 135

Corrigés 140

Chapitre 7. Quelques équations aux dérivées partielles classiques 153

7.1 Équation de transport 153

7.2 Équation des ondes 1 58

7.3 Équation de la chaleur 1 64

7.4 Équation de Laplace 166

7.5 Une équation aux dérivées partielles classique en finance : l’équation

de Black-Scholes 1 78

Chapitre 8. Introduction aux approches variationnelles 183

8.1 Principe des approches variationnelles 183

8.2 Problème variationnel abstrait 1 89

8.3 Notions sur la régularité de la solution faible 1 95

8.4 Traitement de quelques EDP 195

8.5 Techniques d’approximation de Ritz-Galerkin 200

Exercices 202

Corrigés 204

Annexe A. Rappels d’analyse et de géométrie 215

A.l Fonctions de plusieurs variables 21 5

A. 2 Éléments de géométrie 21 7

Annexe B. Éléments d’analyse hilbertienne 221

B. l Définitions 221

B.2 Complétude 226

B.3 Sommes hilbertiennes 229

B.4 Projection sur un convexe fermé 233

B. 5 Dualité dans les espaces de Hilbert 237

Annexe C. Éléments d’intégration de Lebesgue 241

C. l Motivation 241

C.2 Rapide construction de l’intégrale de Lebesgue 242

C.3 Résultats importants 245

C.4 Comparaison Riemann-Lebesgue 247

C.5 Intégrales multiples 247

C.6 Espaces de Lebesgue 248

C.7 Produit de convolution de deux fonctions 252

C.8 Résultats de densité et de séparabilité 253

IV

www.bibliomath.com© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

Table des matières

Annexe D. Propriétés de l’espace de Sobolev H}(Q) 255

D. 1 Structure algébrique

D.2 Régularité des fonctions, notion de trace

D.3 Inégalités de Poincaré

255

257

260

Bibliographie 265

Index 266

ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE PC-PSI-PT Cours, méthodes et exercices corrigés Jean-Marie Monier

 ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE

PC-PSI-PT

Cours, méthodes et exercices corrigés

Jean-Marie Monier

Professeur en classe de Spéciales 

au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon

Télécharger ici

CHAPITRE 1 Compléments d’algèbre linéaire 3

1.1 Espaces vectoriels  4

1.1.1 Familles libres, familles liées, familles génératrices  4

1.1.2 Sommes, sommes directes  4

1.2 Applications linéaires  9

1.2.1 Théorème d’isomorphisme  9

1.2.2 Interpolation de Lagrange  10

1.2.3 Théorème du rang  11

1.3 Dualité  13

1.3.1 Généralités 13

1.3.2 Hyperplans 14

1.3.3 Bases duales  16

1.4  Calcul matriciel  22

1.4.1 Trace 22

1.4.2 Blocs 27

Déterminants 35

2.1  Le groupe symétrique  36

2.1.1 Structure de Sn 36

2.1.2 Transpositions  36

2.1.3 Cycles  39

2.2 Applications multilinéaires  41

2.2.1 Généralités 41

2.2.2 Applications multilinéaires alternées  41

2.3 Déterminant d'une famille de n vecteurs

dans une base d'un ev de dimension n 43

2.3.1 Espace n(E) 43

2.3.2 Propriétés 44

2.4 Déterminant d'un endomorphisme  45

2.5 Déterminant d'une matrice carrée  46

Cours

CHAPITRE 2

IV

2.6 Développement par rapport à une rangée   49

2.6.1 Cofacteurs et mineurs  49

2.6.2 Comatrice 53

2.7 Calcul des déterminants  55

2.7.1 Déterminant d'une matrice triangulaire  55

2.7.2 Manipulation de lignes et de colonnes  55

2.7.3 Cas n = 2, n = 3 58

2.7.4 Déterminant de Vandermonde   59

2.7.5 Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs  60

2.8  Orientation d'un espace vectoriel réel

de dimension finie  64

2.9 Supplément : Rang et sous-matrices  65

2.10 Systèmes affines   68

2.10.1 Position du problème  68

2.10.2 Résolution dans le cas d’un système de Cramer  69

Réduction des endomorphismes 

et des matrices carrées 73

3.1 Éléments propres  74

3.2 Polynôme caractéristique  79

3.3 Diagonalisabilité  86

3.4 Trigonalisation  98

3.5 Polynômes d'endomorphismes, 

polynômes de matrices carrées  106

3.5.1 Généralités 106

3.5.2 Polynômes annulateurs  109

3.5.3 Théorème de Cayley et Hamilton  116

3.5.4 Idéaux de K[X] (PSI 118

3.6 Applications de la diagonalisation  119

3.6.1 Calcul des puissances d'une matrice carrée  119

3.6.2 Suites récurrentes linéaires simultanées

du 1er

ordre à coefficients constants   123

3.6.3 Suites récurrentes linéaires à coefficients constants  124

Problèmes 126

Espaces préhilbertiens réels 129

4.1  Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques  130

4.1.1 Généralités 130

4.1.2 Interprétation matricielle  132

4.2  Rappels sur les espaces euclidiens   137

4.2.1 Produit scalaire  137

4.2.2 Orthogonalité 141

CHAPITRE 4

CHAPITRE 3

4.3  Endomorphismes remarquables

d'un espace vectoriel euclidien  146

4.3.1 Endomorphismes symétriques  146

4.3.2 Endomorphismes orthogonaux  153

4.4 Adjoint  158

4.4.1 Adjoint d’un endomorphisme d’un espace euclidien  158

4.4.2 Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien  162

4.5  Réduction des matrices symétriques réelles   163

4.5.1 Théorème fondamental  163

4.5.2 Réduction simultanée  169

4.5.3 Positivité 170

Problème 186

Espaces préhilbertiens complexes 187

5.1 Formes sesquilinéaires  188

5.1.1 Généralités 188

5.1.2 Cas de la dimension finie  190

5.2 Espaces préhilbertiens complexes

et espaces hermitiens  193

5.2.1 Produit scalaire hermitien  193

5.2.2 Orthogonalité 197

Géométrie 203

6.1 Courbes du plan  204

6.1.1 Enveloppe d'une famille de droites du plan  204

6.1.2 Rappels sur l’abscisse curviligne et le rayon de courbure  211

6.1.3 Centre de courbure  216

6.1.4 Développée d'une courbe du plan  220

6.1.5 Développantes d'une courbe du plan  223

6.2 Courbes de l'espace  227

6.2.1 Généralités  227

6.2.2 Tangente en un point  229

6.2.3 Abscisse curviligne  231

6.3 Surfaces  235

6.3.1 Généralités 235

6.3.2 Plan tangent en un point  238

6.3.3 Surfaces usuelles  244

6.3.4 Quadriques  252

6.3.5 Surfaces réglées, surfaces développables  261

6.3.6 Exemples de recherche de courbes tracées sur une surface 

et satisfaisant une condition différentielle  267

CHAPITRE 6

CHAPITRE 5

Chapitre 1 278

Chapitre 2 284

Chapitre 3 293

Chapitre 4 322

Chapitre 5 347

Chapitre 6 350

Index des notations 373

Index alphabétique 375

Solutions des exercices

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INTRODUCTION à L'ANALYSE NUMÉRIQUE MATRICIELLE et à L'OPTIMISATION P. G. CIARLET

 Collection Mathématiques appliquées pour la maîtrise 

Sous la direction de P. G. CIARLET et J. L. LIONS 

P. G. CIARLET 

Université Pierre et Marie Curie 

École Normale Supérieure 

INTRODUCTION 

à 

L'ANALYSE NUMÉRIQUE 

MATRICIELLE 

et à 

L'OPTIMISATION 

Troisième tirage 

avec mise à jour de la bibliographie 

MASSON Paris Milan Barcelone Mexico 1988 

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TABLE DES MATIERES 

Présentation de la collection v 

Préface vii 

Première partie 

Analyse numérique matricielle 

1. Rappels et compléments sur les matrices 3 

Introduction 3 

1.1. Principales notations et définitions 3 

1.2. Réduction des matrices 8 

1.3. Propriétés particulières aux matrices symétriques et hermitiennes 11 

1.4. Normes vectorielles et normes matricielles 14 

1.5. Suites de vecteurs et de matrices 21 

2. Généralités sur l'analyse numérique matricielle 23 

Introduction 23 

2.1. Les deux problèmes fondamentaux ; généralités sur les méthodes employées 23 

2.2. Conditionnement d'un système linéaire 27 

2.3. Conditionnement d'un problème de valeurs propres 34 

3. Origine des problèmes de l'analyse numérique matricielle 37 

Introduction 37 

3.1. La méthode des différences finies pour un problème aux limites en  

dimension un 38 

3.2. La méthode des différences finies pour un problème aux limites en  

dimension deux 45 

3.3. La méthode des différences finies pour les problèmes aux limites  

d'évolution 48 

3.4. Approximation variationnelle d'un problème aux limites en dimension un 53 

3.5. Approximation variationnelle d'un problème aux limites en dimension 

deux 60 

3.6. Problèmes de valeurs propres 62 

3.7. Problèmes d'interpolation et d'approximation 66 

4. Méthodes directes de résolutions de systèmes linéaires 71 

Introduction 71 

4.1. Deux remarques concernant la résolution des systèmes linéaires 72 

4.2. La méthode de Gauss 73 

4.3. La factorisation LU d'une matrice 82 

4.4. La factorisation et la méthode de Cholesky 87 

4.5. La factorisation QR d'une matrice et la méthode de Householder 90 

Xll 

5. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 95 

Introduction 95 

5.1. Généralités sur les méthodes itératives 95 

5.2. Description des méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel, de relaxation 97 

5.3. Convergence des méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel, de relaxation 102 

6. Méthodes de calcul des valeurs propres et des vecteurs propres 110 

Introduction 110 

6.1. La méthode de Jacobi 111 

6.2. La méthode de Givens-Householder 118 

6.3. La méthode QR 123 

6.4. Calcul des vecteurs propres 129 

Deuxième partie 

Optimisation 

7. Rappels et compléments de calcul différentiel. Premières applications 135 

Introduction 135 

7.1. Dérivées première et seconde d'une application 137 

7.2. Extremums des fonctions réelles: multiplicateurs de Lagrange 146 

7.3. Extremums des fonctions réelles: prise en compte des dérivées secondes . 151 

7.4. Extremums des fonctions réelles: prise en compte de la convexité 153 

7.5. La méthode de Newton 158 

8. Généralités sur l'optimisation. Premiers algorithmes 167 

Introduction 167 

8.1. Le théorème de projection; premières conséquences 168 

8.2. Généralités sur les problèmes d'optimisation 173 

8.3. Exemples de problèmes d'optimisation 179 

8.4. Méthodes de relaxation et de gradient pour des problèmes sans  

contraintes 182 

8.5. Méthodes de gradient conjugué pour des problèmes sans contraintes ... 194 

8.6. Méthodes de relaxation, de gradient, et de pénalisation, pour des problèmes 

avec contraintes 201 

9. Introduction à la programmation non linéaire 207 

Introduction 207 

9.1. Lemme de Farkas-Minkowski 208 

9.2. Les relations de Kuhn et Tucker 211 

9.3. Lagrangiens et points-selles. Introduction à la dualité 219 

9.4. La méthode d'Ûzawa 226 

10. Programmation linéaire 231 

Introduction 231 

10.1. Généralités sur la programmation linéaire 232 

10.2. Exemples de problèmes de programmation linéaire 235 

10.3. La méthode du simplexe 237 

10.4. Dualité et programmation linéaire 252 

Commentaires bibliographiques 259 

Références 262 

Principales notations utilisées 266 

Index 271 

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Inverse Problems for Partial Differential Equations, Second Edition, Victor Isakov

 

Inverse Problems

for Partial

Differential Equations

                                           Second Edition

                                                                               >>Victor Isakov

Contents

Preface to the Second Edition vii

Preface to the First Edition ix

Chapter 1 Inverse Problems 1

1.1 The inverse problem of gravimetry 1

1.2 The inverse conductivity problem 5

1.3 Inverse scattering 7

1.4 Tomography and the inverse seismic problem 10

1.5 Inverse spectral problems 14

Chapter 2 Ill-Posed Problems and Regularization 20

2.1 Well- and ill-posed problems 20

2.2 Conditional correctness: Regularization 23

2.3 Construction of regularizers 26

2.4 Convergence of regularization algorithms 33

2.5 Iterative algorithms 37

Chapter 3 Uniqueness and Stability in the Cauchy Problem 41

3.1 The backward parabolic equation 42

3.2 General Carleman estimates and the Cauchy problem 51

3.3 Elliptic and parabolic equations 57

3.4 Hyperbolic and Schr ¨ odinger equations 65

3.5 Systems of partial differential equations 80

3.6 Open problems 86

Chapter 4 Elliptic Equations: Single Boundary Measurements 89

4.0 Results on elliptic boundary value problems 89

4.1 Inverse gravimetry 92

4.2 Reconstruction of lower-order terms 97

4.3 The inverse conductivity problem 102

4.4 Methods of the theory of one complex variable 111

4.5 Linearization of the coefficients problem 116

4.6 Some problems of detection of defects 119

4.7 Open problems 125

Chapter 5 Elliptic Equations: Many Boundary Measurements 127

5.0 The Dirichlet-to-Neumann map 127

5.1 Boundary reconstruction 130

5.2 Reconstruction in
134

5.3 Completeness of products of solutions of PDE 138

5.4 Recovery of several coefficients 143

5.5 The plane case 149

5.6 Nonlinear equations 154

5.7 Discontinuous conductivities 160

5.8 Maxwell’s and elasticity systems 166

5.9 Open problems 170

Chapter 6 Scattering Problems 173

6.0 Direct Scattering 173

6.1 From A to near field 176

6.2 Scattering by a medium 180

6.3 Scattering by obstacles 184

6.4 Open problems 190

Chapter 7 Integral Geometry and Tomography 192

7.1 The Radon transform and its inverse 192

7.2 The energy integral methods 201

7.3 Boman’s counterexample 205

7.4 The transport equation 208

7.5 Open problems 215

Chapter 8 Hyperbolic Problems 218

8.0 Introduction 218

8.1 The one-dimensional case 221

8.2 Single boundary measurements 229

8.3 Many measurements: use of beam solutions 236

8.4 Many measurements: methods of boundary control 243

8.5 Recovery of discontinuity of the speed of propagation 249

8.6 Open problems 253

Chapter 9 Inverse parabolic problems 255

9.0 Introduction 255

9.1 Final overdetermination 259

9.2 Lateral overdetermination: single measurements 264

9.3 The inverse problem of option pricing 270

9.4 Lateral overdetermination: many measurements 275

9.5 Discontinuous principal coefficient and recovery of a domain 279

9.6 Nonlinear equations 288

9.7 Interior sources 293

9.8 Open problems 295

Chapter 10 Some Numerical Methods 297

10.1 Linearization 298

10.2 Variational regularization of the Cauchy problem 303

10.3 Relaxation methods 308

10.4 Layer-stripping 310

10.5 Range test algorithms 313

10.6 Discrete methods 318

Appendix. Functional Spaces 321

References 324

Index 343

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ANALYSE FONCTIONNELLE Théorie et applications 2ème tirage HaÏm BREZIS

 

                   Collection Mathématiques appliquées pour la maîtrise 

SOllS la direction de P. G. CIARLET et J. L. LIONS 

ANALYSE 

FONCTIONNELLE 

Théorie et applications 

2ème tirage 

             HaÏm BREZIS 

**Université Pierre et Marie Curie **

     ** et École Poly technique **

Cet ouvrage reprend sous une forme sensiblement plus élaborée un cours de Maîtrise enseigné à I'Université Pierre et Marie Curie (Paris VI). II suppose connus les éléments de base de Topologie générale, d'lntégration et de Calcul différentiel. La première partie du cours (Chapitres I à VII) développe des résultats << abstraits )) d'Analyse Fonctionnelle. La seconde partie (Chapitres VIII à X) concerne l'étude d'espaces fonctionnels << concrets )) qui interviennent en théorie des équations aux dérivées partielles; on y montre comment des théorèmes d'existence << abstraits )) permettent de résoudre des équations aux dérivées partielles. Ces deux branches de l' Analyse sont étroitement liées. Historiquement, I'Analyse Fonctionnelle <<abstraite)) s'est d'abord développée pour répondre à des questions soulevées par la résolution d'équations aux dérivées partielles. Inversement, les progrès de l'Analyse Fonctionnelle <<abstraite)) ont considérablement stimulé la théorie des équations aux dérivées partielles. Ce cours ne contient aucune référence historique; nous recommandons au lecteur de consulter I'ouvrage de J. Dieudonné [3J. Nous espérons que ce livre pourra être utile tant aux étudiants intéressés par les <<Mathématiques Pures)) qu'à ceux qui désirent s'orienter vers les <<Mathématiques Appliquées )). 

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